Subconjunto dentro do espaço amostral. Representado por conjunto. Subconjunto do espaço amostral normalmente contem os elementos que estamos tentando calcular a probabilidade dos mesmos.
Evento certo (1%) e evento impossível (0%), exemplo de evento impossível seja dado honesto a probabilidade de cair numero maior que 6 = 0%.
Utilizada para calcular a probabilidade do evento ocorrer dado que outro evento já aconteceu.
P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)
Sendo:
P(A|B): é a probabilidade do evento A ocorrer dado que o evento B já ocorreu.
P(B|A): é a probabilidade do evento B ocorrer dado que o evento A já ocorreu.
P(A): é a probabilidade inicial do evento A acontecer (probabilidade a priori).
P(B): é a probabilidade do evento B ocorrer.
Exemplo:
Em uma cidade em que os carros são testados para emissão de poluentes, 25% deles emitem quantidade considerada excessiva. O teste falha para 99% dos carros que emitem excesso de poluentes, mas resulta positivo para 17% dos carros que não emitem quantidade excessiva. Qual é a probabilidade de um carro que falha no teste realmente emitir quantidade excessiva de poluentes?
Função massa de probabilidade (FMP) ou (PMF):
Função de massa de probabilidade de uma variável aleatória discreta X é definida como:
Para variaveis aleatórias discretas, que assumem uma contagem.
X é uma variável aleatória discreta,
x é um valor que X pode assumir,
p(x) é a probabilidade de que X seja igual a x.
Com as condições:
Valores não negativos: 0 ≤ P(X=x) ≤ 1 para qualquer valor x possível da variável.
Soma igual a 1: A soma das probabilidades de todos os valores possíveis de X é igual a 1 (∑P(X=x) = 1).
Exemplo:
É lançado duas moedas. Seja 𝑋 = número de caras. Qual a função massa de probabilidade (ou fmp) de X?
Espaço Amostral (Ω)
Todas as combinações possíveis ao lançar duas moedas (cada uma pode dar cara (C) ou coroa (K)): Ω={(C,C), (C,K), (K,C), (K,K)}
Vamos contar quantas caras aparecem em cada resultado:
Resultado
Número de Caras (X)
(C, C)
2
(C, K)
1
(K, C)
1
(K, K)
0
Então, os valores possíveis para X são:
X∈{0,1,2}
Função Massa de Probabilidade (fmp) de X
A função massa de probabilidade P(X=x)P(X = x)P(X=x) nos dá a probabilidade de cada valor de XXX:
x
P(X = x)
Justificativa
0
1/4
só (K, K) tem 0 caras
1
2/4=1/2
(C, K) e (K, C) têm 1 cara
2
1/4
só (C, C) tem 2 caras
import matplotlib.pyplot as plt
# Passo 1: Definir os valores possíveis da variável aleatória X
# X representa o número de caras ao lançar duas moedas
valores_x = [0, 1, 2]
# Passo 2: Definir as probabilidades associadas a cada valor de X
# P(X = 0) = 1/4, P(X = 1) = 2/4, P(X = 2) = 1/4
probabilidades = [1/4, 1/2, 1/4]
# Passo 3: Plotar a função massa de probabilidade (fmp)
plt.figure(figsize=(6, 4)) # Tamanho da figura
plt.stem(valores_x, probabilidades, basefmt=" ", use_line_collection=True)
# Passo 4: Adicionar título e rótulos aos eixos
plt.title('Função Massa de Probabilidade (fmp) de X\nX = número de caras ao lançar 2 moedas')
plt.xlabel('x (número de caras)')
plt.ylabel('P(X = x)')
plt.xticks(valores_x) # Marcar apenas os valores de x possíveis
plt.ylim(0, 0.6) # Ajuste do limite superior do eixo y
plt.grid(True, axis='y', linestyle='--', alpha=0.6)
# Passo 5: Mostrar os valores de probabilidade acima das barras
for x, p in zip(valores_x, probabilidades):
plt.text(x, p + 0.02, f'{p:.2f}', ha='center')
# Exibir o gráfico
plt.tight_layout()
plt.show()
Função de Densidade de Probabilidade (fdp)ou (pdf):
f(x) ≥ 0 ∫f(x)dx = 1
Variáveis aleatórias contínuas usamos a função de densidade de probabilidade (PDF).
“Densidade de uma variável aleatória contínua, é uma função que descreve a verossimilhança de uma variável aleatória tomar um valor dado. A probabilidade da variável aleatória cair em uma faixa particular é dada pela integral da densidade dessa variável sobre tal faixa – isto é, é dada pela área abaixo da função densidade mas acima do eixo horizontal e entre o menor e o maior valor dessa faixa. A função densidade de probabilidade é não negativa sempre, e sua integral sobre todo o espaço é igual a um. A função densidade pode ser obtida a partir da função distribuição acumulada a partir da operação de derivação (quando esta é derivável).”
A variável aleatória contínua X representa a altura (em metros) de uma planta em crescimento, e segue a distribuição normal
, ou seja:
Média μ=1.5\mu = 1.5μ=1.5 m
Desvio padrão σ=0.1\sigma = 0.1σ=0.1 m
Pergunta:
Qual a probabilidade de que uma planta tenha entre 1.4 m e 1.6 m de altura?
from scipy.stats import norm
# Média e desvio padrão
mu = 1.5
sigma = 0.1
# Limites
a = 1.4
b = 1.6
# Cálculo da probabilidade
prob = norm.cdf(b, mu, sigma) - norm.cdf(a, mu, sigma)
print(f'P(1.4 ≤ X ≤ 1.6) = {prob:.4f}')
# P(1.4 ≤ X ≤ 1.6) = 0.6827
A probabilidade de que uma planta escolhida ao acaso tenha entre 1.4 m e 1.6 m de altura é aproximadamente 68,27%, o que faz sentido — corresponde a uma faixa de ±1 desvio padrão da média numa distribuição normal.
Diferenças entre PMF e PDF:
Tipo
Valores possíveis
Exemplos de variáveis
Discreta
Valores inteiros contáveis
nº de filhos, nº de erros, nº de caras
Contínua
Valores decimais (reais) infinitos em um intervalo
altura, tempo, temperatura, peso
Valor Esperado (Esperança matemática):
“representa o valor médio “esperado” de uma experiência se ela for repetida muitas vezes”.
Para ilustrar o conceito de Valor Esperado, considere um jogo de dados em que um jogador ganha R$10 se tirar um número par e perde R$5 se tirar um número ímpar. As probabilidades de tirar um número par ou ímpar em um dado de seis lados são ambas de 1/2. O cálculo do Valor Esperado seria: (E(X) = (10 cdot frac{1}{2}) + (-5 cdot frac{1}{2}) = 5 – 2.5 = 2.5). Isso significa que, em média, o jogador pode esperar ganhar R$2,50 por rodada, o que ajuda a avaliar se o jogo é vantajoso ou não.
![{\displaystyle E[X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}p(x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec388d4b85f116933ba7cefbc748c07513518e00)
![{\displaystyle E[X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2a6dfe82bf0def7e07f046133a6fcaed082a574)
Samanta Lekecinskas - Data Science e Machine Learning 