Parâmetros, estimadores e distribuição.

• Parâmetro são desconhecidos e queremos estimar.
• Estimador é uma função da amostra, ele é uma variável aleatória que varia com a amostra.
• Distribuição amostrais dos estimadores.

Exemplo:

Suponha que temos uma população com distribuição normal cuja média μ e desvio-padrão σ .

Abaixo vamos ver:

• Viés;
• Consistência;
• Eficiência.

Distribuição amostral média:

É a distribuição de probabilidades de todas as médias amostrais possíveis de um certo tamanho (n) retiradas de uma população .

Exemplo: Se você tirar várias amostras de tamanho 10 de uma população, você obterá várias médias. A distribuição dessas médias é a distribuição amostral da média.

Exercicio:

Definição da População: Considera-se uma urna contendo três bolinhas numeradas de 1, 2 e 3. Esta é a população.

Definição da Amostra: . É retirada uma amostra aleatória com reposição de duas bolinhas da urna.O tamanho da amostra é n=2.

Possíveis Amostras e Suas Médias:

Listagem das Amostras: . Todas as combinações possíveis de duas bolinhas com reposição são listadas.

O espaço amostral 𝑆 é dado por:

S={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}
O número total de amostras possíveis é :

Estimador não viesado:

Um estimador é não enviesado , se em média, não está tedendo a superestimar ou subestimar o verdadeiro valor do parâmetro.

A distribuição amostral da média, ou média amostral (X̄), é a distribuição de todas as médias possíveis de amostras aleatórias de um determinado tamanho (n) extraídas de uma população. Este estimador é não viesado porque o seu valor esperado é igual à média populacional (µ). A distribuição amostral da média, graças ao Teorema do Limite Central, tende a ser aproximadamente normal, mesmo que a população original não seja normal, especialmente para amostras grandes. 

Por que a média amostral (X̄) é um estimador não viesado? 

• Um estimador é não viesado (ou não viciado) se o seu valor esperado é igual ao parâmetro populacional que ele está a tentar estimar. 
• No caso da média, o valor esperado da média amostral é igual à média populacional (E(X̄) = µ). 
• Isso significa que, em média, a média amostral não tende a superestimar ou subestimar a verdadeira média da população. 

Consistência do Estimador:

• Definição: Um estimador é consistente se, ao aumentar o tamanho da amostra (n), o seu valor se aproxima cada vez mais do valor real do parâmetro populacional que ele tenta estimar. 
• Como funciona: Para um estimador da média ser consistente:
  • A esperança (valor esperado) deve tender ao parâmetro: Ou seja, em média, o estimador deve se aproximar do valor real da média populacional, mesmo com a variabilidade natural das amostras. 
  • A variância deve tender a zero: À medida que n aumenta, a dispersão dos valores do estimador deve diminuir, indicando que os valores obtidos com amostras maiores estão mais concentrados em torno do parâmetro populacional.

Em resumo:

Estimador Não Viesado, mas Não Consistente

• Definição: Um estimador não viesado tem o seu valor esperado igual ao verdadeiro parâmetro populacional (E(T) = θ). Um estimador não consistente tem a sua variância que não tende a zero à medida que o tamanho da amostra cresce. 
• Exemplo: Considere a variância de uma população, σ². Um estimador para ela pode ser obtido usando a média de frequência amostral, que é o estimador de variância tendencioso do livro e sua amostra. 

Estimador Viesado, mas Consistente

• Definição: Um estimador viesado tem um viés não nulo, ou seja, o seu valor esperado não é igual ao parâmetro real. Um estimador consistente tem a sua variância que tende a zero à medida que o tamanho da amostra se aproxima do infinito. 
• Exemplo: Um estimador da variância populacional, σ², usando o denominador de n, pode ser usado para a variância da amostra. Este estimador tem um viés, mas é consistente. 

Como Identificar Estimadores Não Viesados e Consistentes

• Um estimador é não viesado se E(T) = θ, e é consistente se a variância de T tende a zero quando o tamanho da amostra n tende ao infinito. 
• Em geral, os estimadores não viesados e consistentes são preferíveis, pois fornecem estimativas mais precisas e não tendem a subestimar ou superestimar o parâmetro ao longo do tempo. 
• Variância Pequena (Eficiência): 
  Um bom estimador deve ser consistente e ter uma variância pequena, significando que a variância do estimador tende a zero quando o tamanho da amostra é grande. 

Eficiência do Estimador:

Variância Pequena (Eficiência): 
Um bom estimador deve ser consistente e ter uma variância pequena, significando que a variância do estimador tende a zero quando o tamanho da amostra é grande. 

Erro quadratico médio (MSE):

Soma da variância do estimador + o viés ao quadrado do estimador, fornecendo uma maneira útil de calcular o MSE e implicando que, no caso de estimadores não tendenciosos, o MSE e a variância são equivalentes. MSE ⁡ ( θ ^ ) = Var θ ⁡ ( θ ^ ) + Bias ⁡ ( θ ^ , θ ) 2.

• O quadrado do vies: o quanto o estimador está longe do valor verdadeiro.
• A variância: o quanto o estimador pode variar em diferentes amostras da população.

Máxima Verossimilhança (MLE):

A “máxima verossimilhança” (ou Estimativa de Máxima Verossimilhança – MLE) é um método estatístico para estimar os parâmetros de um modelo probabilístico, procurando os valores que tornam os dados observados o mais prováveis possível.

o principio da verossimilhança afirma que devemos escolher aquele valor do parâmetro desconhecido que maximiza a probabilidade de obter a amostra particular observada, ou seja, o valor que torna aquela amostra a “mais provável”. Exemplo de Verossimilhança: A função de verossimilhança para estimar a probabilidade de um pouso de uma moeda sem conhecimento prévio de seu lançamento.

Verossimilhança vs. Probabilidade

“Não confunda verossimilhança com probabilidade. Enquanto a probabilidade mede a chance de observar dados específicos dado um conjunto de parâmetros, a verossimilhança mede a plausibilidade de um conjunto de parâmetros dado os dados observados. Em outras palavras, a verossimilhança é uma função dos parâmetros, enquanto a probabilidade é uma função dos dados. Essa distinção é crucial para a correta aplicação de métodos estatísticos.”

site: https://estatisticafacil.org/glossario/o-que-e-verossimilhanca-entenda-o-conceito/, acesso 25 setembro de 2025.

site: https://pt.scribd.com/document/838190048/Estimadores-de-Ma-xima-Verossimilhanc-a, acesso 25 setembro 2025.

Intervalo de confiança:

“O intervalo de confiança é um intervalo numérico construído ao redor da estimativa de um parâmetro. Ele utiliza um procedimento que, ao ser repetido em várias amostras hipotéticas, gera intervalos contendo o valor verdadeiro do parâmetro em X% dos casos.

Vamos dividir essa definição em partes. Primeiramente, o intervalo de confiança possui limites inferior e superior, calculados ao redor da estimativa de um parâmetro, θ-chapéu.”

Lima, M. (2024, 18 de dezembro). O que é intervalo de confiança? Blog Psicometria Online. https://www.blog.psicometriaonline.com.br/o-que-e-intervalo-de-confianca.

Intervalo de confiança para média com variância conhecida:

Para um intervalo de confiança da média populacional (μ) com variância (σ²) conhecida, utiliza-se a distribuição normal e a fórmula: x̄ ± Z * (σ/√n), onde x̄ é a média amostral, Z é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado (ex: 1,96 para 95% de confiança), σ é o desvio padrão populacional e n é o tamanho da amostra.

Intervalo de confiança para média com variância desconhecida:

Para construir um intervalo de confiança para a média populacional com variância desconhecida, usa-se a distribuição t de Student em vez da distribuição normal padrão, pois a variância populacional é desconhecida e, geralmente, trabalha-se com amostras pequenas. A fórmula do intervalo é a média amostral mais ou menos o produto do valor t de Student (determinado pelo nível de confiança e graus de liberdade) pela margem de erro, que é o desvio padrão amostral dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra. 

Passos para calcular o intervalo de confiança:

1. Determinar o nível de confiança: Geralmente são 90%, 95% ou 99%.
2. Calcular os graus de liberdade (gl): Em geral, gl = n – 1, onde n é o tamanho da amostra.
3. Encontrar o valor t de Student: Utilize uma tabela t de Student ou software estatístico com base no nível de confiança e nos graus de liberdade.
4. Calcular o desvio padrão amostral (s): Esta é a medida da variabilidade da amostra.
5. Calcular o erro padrão da média: Divida o desvio padrão amostral pela raiz quadrada do tamanho da amostra (n).
6. Calcular a margem de erro: Multiplique o valor t de Student pelo erro padrão da média.
7. Construir o intervalo: Some e subtraia a margem de erro da média amostral (x̄) para obter os limites inferior e superior do intervalo. 

Exemplo prático:
Assumindo que você tem uma amostra de tamanho n, com média x̄ e desvio padrão s, e deseja um intervalo de confiança de 95%: 

• Cálculo:
• x̄ ± t * (s / √n). 

site: https://est.ufmg.br/~marcosop/est031/aulas/Capitulo_8_1.pdf, acesso 25 de setembro de 2025.

Objetivo é encontrar a melhor solução possível, onde quantifica a qualidade da solução:

Onde transforma um vetor em um numero real.

Função objetivo:

Direção de otimização, maximizar (solução fornece o maior valore possível) ou minimizar (minimiza o custo), exemplo minimizar o tempo de viagem, ou maximizar o lucro.

Otimizador Global: busca a melhor entre todas as soluções viáveis, onde busca o minimo ou maximo global.

site: https://en.wikipedia.org/wiki/Global_optimization, acesso 03 de setembro 2025.

Otimizador Local: não tão complexo comparado a achar o otimizador global (minimo ou maximo), em muitos casos buscamos o minimo ou maximo local.

Restrições:Condições que limitam as variáveis de decisão, expressas como igualdades ou desigualdades lineares (ex: disponibilidade de ingredientes, demanda máxima ou mínima de um produto). 

Álgebra linear:

Vetores:

site:https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/thinking-about-multivariable-function/x786f2022:vectors-and-matrices/a/vectors-and-notation-mvc, acesso 2 outubro de 2025.

Matriz: linhas x colunas

site:https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/thinking-about-multivariable-function/x786f2022:vectors-and-matrices/a/matrices–intro-mvc, acesso 2 outubro de 2025.

Produto Vetor x Matrix:

Produto Matriz x Matriz:

Transposta: inverte coluna e linhas.

Otimização Linear:

Otimização Linear, ou Programação Linear (PL), é um método matemático para tomar a melhor decisão em um problema, maximizando ou minimizando um objetivo (como lucro ou custo) sujeito a um conjunto de restrições representadas por equações lineares. Ela é aplicada na pesquisa operacional para resolver situações complexas do mundo real, como planejamento de produção, definindo as quantidades ideais de produtos a fabricar para otimizar o lucro, ou criando misturas com o menor custo possível, respeitando a disponibilidade de componentes. 

Elementos Principais:

• Função Objetivo:Uma função matemática (linear) que expressa o objetivo do problema, como maximizar o lucro ou minimizar o custo. 
• Variáveis de Decisão:As variáveis que precisam ser determinadas para atingir o objetivo (ex: quantidade de cada produto a ser produzida). 
• Restrições:Condições que limitam as variáveis de decisão, expressas como igualdades ou desigualdades lineares (ex: disponibilidade de ingredientes, demanda máxima ou mínima de um produto). 

Alguns Exemplo de otimizador em python:

com a biblioteca do scipy.optimize.minimize_scalar extraimos o minimo e no código abaixo adicionamos um intervalo de limite para ele achar o minímo.

Restrições:

Exemplos de Otimização Linear:

Probabilidade é um modo de calcular ou quantificar as chances de que um evento ocorra, isso dada todas as possíveis ocorrências.

Probabilidade sempre esta no intervalo entre 0 e 1.

Espaço amostral:

São todos os possíveis resultados de um evento aleatório. Permitindo calcular o número total de resultados possíveis.

representado pelo ômega (Ω)

site: https://app.planejativo.com/estudar/360/resumo/matematica-probabilidade-visao-geral – acesso 21/8/2025

Evento:

Subconjunto dentro do espaço amostral. Representado por conjunto. Subconjunto do espaço amostral normalmente contem os elementos que estamos tentando calcular a probabilidade dos mesmos.

Evento certo (1%) e evento impossível (0%), exemplo de evento impossível seja dado honesto a probabilidade de cair numero maior que 6 = 0%.

Referência: https://pt.khanacademy.org/math/em-mat-probabilidade/x37cb49a28da24b56:probabilidade/x37cb49a28da24b56:tipos-de-eventos/a/tipos-de-eventos

União e interseção de eventos:

A união de dois eventos A e B, denotada por A ∪ B, representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B.

A interseção do evento A com B, denotada por A ∩ B, é a ocorrência simultânea de A e B.

Dois eventos A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não tem elementos em comum. Isto é, A ∩ B = Ø.

site: https://www.infoescola.com/matematica/probabilidade/ – acesso: 21/08/2025

Árvore de probabilidade:

Árvore de probabilidade tambem pode ser representada e calculada a probabilidade

site:https://pt.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_%C3%A1rvore

Exemplo:

site: https://brainly.com.br/tarefa/27704281

Probabilidade total:

É a probabilidade total para um resultado que pode ser através de vários eventos distintos.

Exemplo sendo, B um evento, teremos o teorema da probabilidade total.

Assim, a probabilidade total de B pode ser obtida pelo axioma III da probabilidade, como segue.

P(B)=P(B∩A1)+P(B∩A2)+…+P(B∩An)=n∑i=1P(B∩Ai)=n∑i=1P(B|Ai)P(Ai).

site: https://bookdown.org/rfdapaz/probabilidade/probabilidade-condicional.html – acesso: 22/08/2025

Exemplo:

site: https://www.bertolo.pro.br/AdminFin/AnalInvest/Aula040912Revisao.pdf – acesso: 22/08/2025

Teorema de Bayes

Utilizada para calcular a probabilidade do evento ocorrer dado que outro evento já aconteceu.

P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B) 

Sendo:

• P(A|B): é a probabilidade do evento A ocorrer dado que o evento B já ocorreu. 
• P(B|A): é a probabilidade do evento B ocorrer dado que o evento A já ocorreu. 
• P(A): é a probabilidade inicial do evento A acontecer (probabilidade a priori). 
• P(B): é a probabilidade do evento B ocorrer. 

Exemplo:

Em uma cidade em que os carros são testados para emissão de poluentes, 25% deles emitem quantidade considerada excessiva. O teste falha para 99% dos carros que emitem excesso de poluentes, mas resulta positivo para 17% dos carros que não emitem quantidade excessiva. Qual é a probabilidade de um carro que falha no teste realmente emitir quantidade excessiva de poluentes?

Função massa de probabilidade (FMP) ou (PMF):

Função de massa de probabilidade de uma variável aleatória discreta X é definida como:

Para variaveis aleatórias discretas, que assumem uma contagem.

• X é uma variável aleatória discreta,
• x é um valor que X pode assumir,
• p(x) é a probabilidade de que X seja igual a x.

Com as condições:

• Valores não negativos: 0 ≤ P(X=x) ≤ 1 para qualquer valor x possível da variável.
• Soma igual a 1: A soma das probabilidades de todos os valores possíveis de X é igual a 1 (∑P(X=x) = 1).

Exemplo:

É lançado duas moedas. Seja 𝑋 = número de caras. Qual a função massa de probabilidade (ou fmp) de X?

Espaço Amostral (Ω)

Todas as combinações possíveis ao lançar duas moedas (cada uma pode dar cara (C) ou coroa (K)): Ω={(C,C), (C,K), (K,C), (K,K)}

Vamos contar quantas caras aparecem em cada resultado:

Resultado	Número de Caras (X)
(C, C)	2
(C, K)	1
(K, C)	1
(K, K)	0

Então, os valores possíveis para X são:

X∈{0,1,2}

Função Massa de Probabilidade (fmp) de X

A função massa de probabilidade P(X=x)P(X = x)P(X=x) nos dá a probabilidade de cada valor de XXX:

x	P(X = x)	Justificativa
0	1/4	só (K, K) tem 0 caras
1	2/4​=1​/2	(C, K) e (K, C) têm 1 cara
2	1/4	só (C, C) tem 2 caras

import matplotlib.pyplot as plt

# Passo 1: Definir os valores possíveis da variável aleatória X
# X representa o número de caras ao lançar duas moedas
valores_x = [0, 1, 2]

# Passo 2: Definir as probabilidades associadas a cada valor de X
# P(X = 0) = 1/4, P(X = 1) = 2/4, P(X = 2) = 1/4
probabilidades = [1/4, 1/2, 1/4]

# Passo 3: Plotar a função massa de probabilidade (fmp)
plt.figure(figsize=(6, 4))  # Tamanho da figura
plt.stem(valores_x, probabilidades, basefmt=" ", use_line_collection=True)

# Passo 4: Adicionar título e rótulos aos eixos
plt.title('Função Massa de Probabilidade (fmp) de X\nX = número de caras ao lançar 2 moedas')
plt.xlabel('x (número de caras)')
plt.ylabel('P(X = x)')
plt.xticks(valores_x)  # Marcar apenas os valores de x possíveis
plt.ylim(0, 0.6)       # Ajuste do limite superior do eixo y
plt.grid(True, axis='y', linestyle='--', alpha=0.6)

# Passo 5: Mostrar os valores de probabilidade acima das barras
for x, p in zip(valores_x, probabilidades):
    plt.text(x, p + 0.02, f'{p:.2f}', ha='center')

# Exibir o gráfico
plt.tight_layout()
plt.show()

Função de Densidade de Probabilidade (fdp) ou (pdf):

f(x) ≥ 0
∫f(x)dx = 1

Variáveis aleatórias contínuas usamos a função de densidade de probabilidade (PDF).

“Densidade de uma variável aleatória contínua, é uma função que descreve a verossimilhança de uma variável aleatória tomar um valor dado. A probabilidade da variável aleatória cair em uma faixa particular é dada pela integral da densidade dessa variável sobre tal faixa – isto é, é dada pela área abaixo da função densidade mas acima do eixo horizontal e entre o menor e o maior valor dessa faixa. A função densidade de probabilidade é não negativa sempre, e sua integral sobre todo o espaço é igual a um. A função densidade pode ser obtida a partir da função distribuição acumulada a partir da operação de derivação (quando esta é derivável).”

site: https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_densidade_de_probabilidade, acesso 25 setembro de 2015.

Exemplo de pdf:

A variável aleatória contínua X representa a altura (em metros) de uma planta em crescimento, e segue a distribuição normal

, ou seja:

• Média μ=1.5\mu = 1.5μ=1.5 m
• Desvio padrão σ=0.1\sigma = 0.1σ=0.1 m

Pergunta:

Qual a probabilidade de que uma planta tenha entre 1.4 m e 1.6 m de altura?

from scipy.stats import norm

# Média e desvio padrão
mu = 1.5
sigma = 0.1

# Limites
a = 1.4
b = 1.6

# Cálculo da probabilidade
prob = norm.cdf(b, mu, sigma) - norm.cdf(a, mu, sigma)

print(f'P(1.4 ≤ X ≤ 1.6) = {prob:.4f}')

# P(1.4 ≤ X ≤ 1.6) = 0.6827

A probabilidade de que uma planta escolhida ao acaso tenha entre 1.4 m e 1.6 m de altura é aproximadamente 68,27%, o que faz sentido — corresponde a uma faixa de ±1 desvio padrão da média numa distribuição normal.

Diferenças entre PMF e PDF:

Tipo	Valores possíveis	Exemplos de variáveis
Discreta	Valores inteiros contáveis	nº de filhos, nº de erros, nº de caras
Contínua	Valores decimais (reais) infinitos em um intervalo	altura, tempo, temperatura, peso

Valor Esperado (Esperança matemática):

“representa o valor médio “esperado” de uma experiência se ela for repetida muitas vezes”.

site: https://pt.wikipedia.org/wiki/Valor_esperado, acesso 27 agosto 2025.

Variavél discreta:

Variável contínua:

Exemplo:

Para ilustrar o conceito de Valor Esperado, considere um jogo de dados em que um jogador ganha R$10 se tirar um número par e perde R$5 se tirar um número ímpar. As probabilidades de tirar um número par ou ímpar em um dado de seis lados são ambas de 1/2. O cálculo do Valor Esperado seria: (E(X) = (10 cdot frac{1}{2}) + (-5 cdot frac{1}{2}) = 5 – 2.5 = 2.5). Isso significa que, em média, o jogador pode esperar ganhar R$2,50 por rodada, o que ajuda a avaliar se o jogo é vantajoso ou não.

site: https://estatisticafacil.org/glossario/o-que-e-valor-esperado/, acesso 27 agosto 2025.