Um dos primeiros problemas utilizando Otimização Linear e métodos de pesquisa operacional.

Problema da Ração é um exemplo típico utilizado como exemplo para Otimização Linear.

Imagina que uma fabrica de ração tenha que produzir a ração animal com 3 ingredientes, como o frango, osso e trigo.

Onde abaixo teríamos um custo, apenas como exemplo, dos 3 ingredientes por Kg:

Preço R$/Kg: Frango = 5 , Osso = 4, Trigo = 6

Sendo assim as variáveis decisão serão a quantidade para cada ingrediente:

Quantidade Kg: Frango = x1, Osso = x2, Trigo = x3

1. Função Objetivo: Queremos reduzir o custo total de cada ingrediente da ração. Portanto o custo será:

Min 𝑐𝑇𝑥′ =5×1​+4×2​+6×3​

Curiosidade: O resultado da expressão $c^T{x}^{\prime }$ é um escalar obtido pela combinação linear das derivadas das componentes do vetor

$x$, resultando em: ${\mathbf{c}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{x}}^{\prime }=\sum _{\mathbf{i}=1}^{\mathbf{n}}{\mathbf{c}}_{\mathbf{i}}{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\prime }$

e

2) Restrições:

Quantidade de cada ingrediente não pode ser negativa e que a produção de pelo menos 1Kg de ração.

x1 + x2+ x3 = 1 (Kg)

x1 > =0

x2 > =0

x3 > =0

ou seja, restrições são:

Quantidade total:$$x_1 + x_2 + x_3 = 1$$

Proteína mínima:$$0.6x_1 + 0.2x_2 + 0.1x_3 \ge 0.4$$

Sódio máximo:$$0.1x_1 + 0.05x_2 + 0.02x_3 \le 0.08$$

Não negatividade:$$x_1, x_2, x_3 \ge 0$$

Abaixo está a solução em Python com linprog, Otimização para custo mínimo a cada 1Kg de ração.

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog
# -------------------------
# Variáveis de decisão
# x1 = kg Frango, x2 = kg Osso, x3 = kg Trigo
# -------------------------
# Função objetivo: minimizar custo
# min 5x1 + 4x2 + 6x3
c = np.array([5, 4, 6], dtype=float)
# Restrições do tipo A_ub @ x <= b_ub
# 1) Proteína mínima: 0.6x1 + 0.2x2 + 0.1x3 >= 0.4
#    Convertemos para <= multiplicando por -1:
#   -0.6x1 -0.2x2 -0.1x3 <= -0.4
# 2) Sódio máximo: 0.1x1 + 0.05x2 + 0.02x3 <= 0.08
A_ub = np.array([
    [-0.6, -0.2, -0.1],  # proteína (convertida)
    [ 0.1,  0.05, 0.02], # sódio
], dtype=float)
b_ub = np.array([
    -0.4,  # proteína mínima
     0.08, # sódio máximo
], dtype=float)
# Restrição de igualdade: x1 + x2 + x3 = 1 (mistura total)
A_eq = np.array([[1, 1, 1]], dtype=float)
b_eq = np.array([1], dtype=float)
# Limites (não negatividade): x1, x2, x3 >= 0
bounds = [(0, None), (0, None), (0, None)]
# Resolver
res = linprog(
    c=c,
    A_ub=A_ub, b_ub=b_ub,
    A_eq=A_eq, b_eq=b_eq,
    bounds=bounds,
    method="highs"
)
# Resultados
if res.success:
    x1, x2, x3 = res.x
    print("✅ Solução ótima encontrada (custo mínimo)")
    print(f"x1 (Frango) = {x1:.4f} kg")
    print(f"x2 (Osso)   = {x2:.4f} kg")
    print(f"x3 (Trigo)  = {x3:.4f} kg")
    print(f"Custo mínimo = R$ {res.fun:.4f}")
    # Checagem das restrições (opcional)
    proteina = 0.6*x1 + 0.2*x2 + 0.1*x3
    sodio    = 0.1*x1 + 0.05*x2 + 0.02*x3
    print("\n🔎 Checagem:")
    print(f"Total       = {x1 + x2 + x3:.4f} (deve ser 1)")
    print(f"Proteína    = {proteina:.4f} (>= 0.4)")
    print(f"Sódio       = {sodio:.4f} (<= 0.08)")
else:
    print("❌ Não foi possível encontrar solução.")
    print("Motivo:", res.message)

✅ Solução ótima encontrada (custo mínimo)
x1 (Frango) = 0.5000 kg
x2 (Osso)   = 0.5000 kg
x3 (Trigo)  = 0.0000 kg
Custo mínimo = R$ 4.5000

🔎 Checagem:
Total       = 1.0000 (deve ser 1)
Proteína    = 0.4000 (>= 0.4)
Sódio       = 0.0750 (<= 0.08)