Resíduos não aderentes a normalidade, por determinado teste estatístico, provavelmente a distribuição de dados é não linear.

Exemplo de Teste estatístico para verificar se os resíduos estão aderentes a normalidade.

Shapiro-Wilk: Amostras pequenas (50 observações)

Shapiro-Francia: Amostras maiores.

O teste de Shapiro–Francia é um teste estatístico utilizado justamente para verificar essa hipótese de normalidade.

Hipóteses do teste

O teste trabalha com duas hipóteses:$$H_0:\ \text{os resíduos seguem distribuição normal}$$$$H_1:\ \text{os resíduos não seguem distribuição normal}$$

Ou seja:

• $H_0$​ representa a hipótese de normalidade;
• $H_1$​ representa a hipótese alternativa, indicando violação da normalidade.

Interpretação do p-valor

Após executar o teste, obtém-se um valor chamado p-value.

A regra geral é:

Se:

$$p\text{-value} > 0,05$$

não rejeitamos $H_0$​.

Assim, há evidências de que os resíduos possuem aderência à normalidade.

Se:

$$p\text{-value} \leq 0,05$$

rejeitamos $H_0$​.

Nesse caso, conclui-se que os resíduos não seguem distribuição normal.

Normalização/Transformação box-cox (transformação da variável dependente)

O Box-Cox não transforma os resíduos diretamente. Primeiro transformamos $Y$, ajustamos o modelo com $Y^*$, e só depois avaliamos se os novos resíduos ficaram mais aderentes à normalidade.

Qual melhor Lambda que maximiza a aderência a normalidade.

Na transformação Box-Cox, quando ainda não existe um modelo ajustado, não avaliamos os termos de erro, pois os resíduos só existem após a estimação do modelo. Nesse caso, a transformação é aplicada diretamente sobre a variável resposta $Y$Y, com o objetivo de aproximar sua distribuição da normalidade e estabilizar sua variância.

O parâmetro $\lambda$ da transformação Box-Cox é escolhido de forma a tornar a variável resposta transformada $Y^*$o mais próxima possível de uma distribuição normal. Assim, antes de ajustar o modelo, buscamos uma escala mais adequada para $Y$, aumentando a chance de que os resíduos do modelo apresentem melhor comportamento estatístico.

A transformação é:$$Y^* = \frac{Y^\lambda – 1}{\lambda}$$

quando:$$\lambda \neq 0$$

E quando:$$\lambda = 0$$

usa-se:$$Y^* = \ln(Y)$$

A ideia é testar vários valores de $\lambda$λ, por exemplo:$$[-2,\ -1,\ -0{,}5,\ 0,\ 0{,}5,\ 1,\ 2]$$

e escolher aquele que maximiza a aderência de $Y^*$ à distribuição normal.

Exemplo de interpretação:

• λ = 1 → praticamente não transforma Y
• λ = 0,5 → raiz quadrada de Y
• λ = 0 → log(Y)
• λ = -1 → inverso de Y